第⼆⼗四章 希腊早期的数学与天⽂学
我在本章⾥要讨论的是数学，并不是由于数学本⾝的缘故，⽽是
因为它与希腊哲学有关系——有着⼀种（尤其是在柏拉图的思想⾥）
⾮常密切的关系。希腊⼈的卓越性表现在数学和天⽂学⽅⾯的，要⽐
在任何别的东西上⾯更为明显。希腊⼈在艺术、⽂学和哲学⽅⾯的成
就，其是好是坏可以依据个⼈的⼜味来评判；但是他们在⼏何学上的
成就却是⽆可疑问的。他们从埃及得到了⼀些东西，从巴⽐伦那⾥得
到的则很少；⽽且他们从这些来源所获得的东西，在数学⽅⾯主要地
是粗糙的经验，在天⽂学⽅⾯则是为期⾮常悠久的观察记录。数学的
证明⽅法，则⼏乎是完全起源于希腊。
有许多⾮常有趣的故事——或许并没有历史真实性——可以表
明，是哪些实际问题刺激了数学的研究。最早的最简单的故事是关于
泰勒斯的，传说他在埃及的时候国王曾要他求出⼀个⾦字塔的⾼度。
他等到太阳照出来他⾃⼰影⼦的长度与他的⾝⾼相等的时候，就去测
量⾦字塔的影⼦；这个影⼦当然就等于⾦字塔的⾼度。据说透视定律
最初是⼏何学家阿加塔库斯为了给伊斯奇鲁斯的戏剧画布景⽽加以研
究的。传说是被泰勒斯所研究过的求⼀只船在海上的距离的问题，在
很早的阶段就已经很正确地解决了。希腊⼏何学所关⼼的⼤问题之
⼀，即把⼀个⽴⽅体增加⼀倍的问题，据说是起源于某处神殿⾥的祭
司们；神谕告诉他们说，神要的⼀座雕象⽐他们原有的那座⼤⼀倍。
最初他们只是想到把原象的尺⼨增加⼀倍，但是后来他们才认识到结
果就要⽐原象⼤⼋倍，这⽐神所要求的要更费钱得多。于是他们就派
遣⼀个使者去见柏拉图，请教他的学园⾥有没有⼈能解决这个问题。
⼏何学家们接受了这个问题，钻研了许多世纪，并且附带地产⽣出了
许多可惊可叹的成果。这个问题当然也就是求2的⽴⽅根的问题。
2的平⽅根是第⼀个有待发现的⽆理数，这⼀⽆理数是早期的毕达
哥拉斯派就已经知道了的，并且还发现过种种巧妙的⽅法来求它的近
似值。最好的⽅法如下：假设有两列数字，我们称之为a列和b列；每⼀列都从1开始，每下⼀步的a都是由已经得到的最后的a和b相加⽽
成；下⼀个b则是由两倍的前⼀个a再加上前⼀个b⽽构成。这样所得到
的最初6对数⽬就是（1，1），（2，3），（5，7），（12，17），
（29，41），（70，99）。在每⼀对数⽬⾥，2a－b都是1或者是－1.
于是b/a就差不多是2的平⽅根，⽽且每下⼀步都越发地与之接近。例
如，读者们将会满意地发见，9970的平⽅是⾮常之接近于与2相等的。
普洛克鲁斯描述过毕达哥拉斯——此⼈永远是个颇为蒙胧的⼈物
——乃是第⼀个把⼏何学当作⼀种学艺的⼈。许多权威学者，包括汤
姆斯·希斯①爵⼠在内，都相信华达哥拉斯或许曾发见过那个以他的名
字命名的定理；那个定理是说在⼀个直⾓三⾓形中，弦的平⽅等于两
夹边的平⽅之和。⽆论如何，这个定理是在很早的时期就被毕达哥拉
斯派所知道了的。他们也知道三⾓形的内⾓之和等于两个直⾓。
①见所著《希腊的数学》，卷⼀，第145页。
除了2的平⽅根之外，其他的⽆理数在特殊的例⼦⾥也曾被与苏格
拉底同时代的狄奥多罗斯研究过，并且曾以更为普遍的⽅式被与柏拉
图⼤致同时⽽稍早的泰阿泰德研究过。德谟克⾥特写过⼀篇关于⽆理
数的论⽂，但是⽂章的内容我们已不⼤知道了。柏拉图对这个题⽬是
深感兴趣的；他在以“泰阿泰德”命名的那篇对话⾥提过了狄奥多罗斯
和泰阿泰德的作品。在《法律篇》中，他说过⼀般⼈对这个题⽬的愚
昧⽆知是很不光彩的，并且还暗⽰着他⾃⼰之开始知道它也是很晚的
事情。它当然对于毕达哥拉斯派的哲学有着重要的关系。
发见了⽆理数的最重要的后果之⼀就是攸多克索（约当公元前408
—355年）之发明关于⽐例的⼏何理论。在他以前，只有关于⽐例的算
数理论。按照这种理论，如果a乘d等于b乘c，则a⽐b就等于c⽐d.这种
界说，在还没有有关⽆理数的⼏何理论时，就只能应⽤于有理数。然
⽽攸多克索提出了⼀个不受这种限制的新界说，其构造的⽅式暗⽰了
近代的分析⽅法。这⼀理论在欧⼏⾥德的书⾥得到了发展，并具有极
⼤的逻辑美。
攸多克索还发明了或者是完成了“穷尽法”，它后来被阿⼏⽶德运
⽤得⾮常成功。这种⽅法是对积分学的⼀种预见。譬如，我们可以举圆的⾯积问题为例。你可以内接于⼀个圆⽽作出⼀个正六边形，或⼀
个正⼗⼆边形，或者⼀个正⼀千边或⼀百万边的多边形。这样⼀个多
边形，⽆论它有多少边，其⾯积是与圆的直径的平⽅成⽐例的。这个
多边形的边越多，则它也就越接近于与圆相等。你可以证明，只要你
能使这⼀多边形有⾜够多的边，就可以使它的⾯积与圆⾯积之差⼩于
任何预先指定的⾯积，⽆论这⼀预先指定的⾯积是多么地⼩。为了这
个⽬的，就引⽤了“阿⼏⽶德公理”。这⼀公理（多少加以简化之后）
是说：假设有两个数量，把较⼤的⼀个平分为两半，把⼀半再平分为
两半，如此继续下去，则最后就会得到⼀个数量要⼩于原来的两个数
量中较⼩的那⼀个。换句话说，如果a⼤于b，则必有某⼀个整数n可以
使2的n次⽅乘b⼤于a.
穷尽法有时候可以得出精确的结果，例如阿⼏⽶德所做的求抛物
线形的⾯积；有时候则只能得出不断的近似，例如当我们企图求圆的
⾯积的时候。求圆的⾯积的问题也就是决定圆周与直径的⽐率问题，
这个⽐率叫作π。阿⼏⽶德在计算中使⽤了22/7的近似值，他做了内接
的与外切的正96边形，从⽽证明了π⼩于3又1/7并⼤于3又10/71.这种⽅
法可以继续进⾏到任何所需要的近似程度，并且这就是任何⽅法在这
个问题上所能尽的⼀切能事了。使⽤内接的与外切多边形以求π的近
似值，应该上溯到苏格拉底同时代的⼈安提丰。
欧⼏⾥德——当我年青的时候，它还是唯⼀被公认的学童⼏何学
教科书——约当公元前300年，即当亚历⼭⼤和亚⾥⼠多德死后不久的
⼏年，⽣活于亚历⼭⼤港。他的《⼏何原本》绝⼤部分并不是他的创
见，但是命题的次序与逻辑的结构则绝⼤部分是他的。⼀个⼈越是研
究⼏何学，就越能看出它们是多么值得赞叹。他⽤有名的平⾏定理以
处理平⾏线的办法，具有着双重的优点；演绎既是有⼒的，⽽又并不
隐饰原始假设的可疑性。⽐例的理论是继承攸多克索的，其运⽤的⽅
法本质上类似于魏尔斯特拉斯所介绍给⼗九世纪的分析数学的⽅法，
于是就避免了有关⽆理数的种种困难。然后欧⼏⾥德就过渡到⼀种⼏
何代数学，并在第⼗卷中探讨了⽆理数这个题⽬。在这以后他就接着讨论⽴体⼏何，并以求作正多⾯体的问题⽽告结束，这个问题是被泰
阿泰德所完成的并曾在柏拉图的《蒂迈欧篇》⾥被提到过。
欧⼏⾥德的《⼏何原本》毫⽆疑义是古往今来最伟⼤的著作之
⼀，是希腊理智最完美的纪念碑之⼀。当然他也具有典型的希腊局限
性：他的⽅法纯粹是演绎的，并且其中也没有任何可以验证基本假设
的⽅法。这些假设被他认为是毫⽆问题的，但是到了⼗九世纪，⾮欧
⼏何学便指明了它们有些部分是可以错误的，并且只有凭观察才能决
定它们是不是错误。
欧⼏⾥德⼏何学是鄙视实⽤价值的，这⼀点早就被柏拉图所谆谆
教诲过。据说有⼀个学⽣听了⼀段证明之后便问，学⼏何学能够有什
么好处，于是欧⼏⾥德就叫进来⼀个奴⾪说：“去拿三分钱给这个青
年，因为他⼀定要从他所学的东西⾥得到好处。”然⽽鄙视实⽤却实⽤
主义地被证明了是有道理的。在希腊时代没有⼀个⼈会想象到圆锥曲
线是有任何⽤处的；最后到了⼗七世纪伽利略才发现抛射体是沿着抛
物线⽽运动的，⽽开普勒则发现⾏星是以椭圆⽽运动的。于是，希腊
⼈由于纯粹爱好理论所做的⼯作，就⼀下⼦变成了解决战术学与天⽂
学的⼀把钥匙了。
罗马⼈的头脑太过于实际⽽不能欣赏欧⼏⾥德；第⼀个提到欧⼏
⾥德的罗马⼈是西赛罗，在他那时候欧⼏⾥德或许还没有拉丁⽂的译
本；并且在鲍依修斯（约当公元480年）以前，确乎是并没有任何关于
拉丁⽂译本的记载。阿拉伯⼈却更能欣赏欧⼏⾥德；⼤约在公元760
年，拜占庭皇帝曾送给过回教哈⾥发⼀部欧⼏⾥德；⼤约在公元800
年，当哈伦·阿尔·拉西德在位的时候，欧⼏⾥德就有了阿拉伯⽂的译⽂
了。现在最早的拉丁⽂译本是巴斯的阿戴拉德于公元1120年从阿拉伯
⽂译过来的。从这时以后，对⼏何学的研究就逐渐在西⽅复活起来；
但是⼀直要到⽂艺复兴的晚期才做出了重要的进步。
我现在就要谈天⽂学，希腊⼈在这⽅⾯的成就正象在⼏何学⽅⾯
是⼀样地引⼈注⽬。在希腊之前，巴⽐伦⼈和埃及⼈许多世纪以来的
观察已经奠定了⼀个基础。他们记录下来了⾏星的视动，但是他们并
不知道晨星和昏星就是⼀个。巴⽐伦⽆疑地，⽽且埃及也可能，已经发现了蚀的周期，这就使⼈能相当可靠地预⾔⽉蚀，但是并不能预⾔
⽇蚀；因为⽇蚀在同⼀个地点并不是总可以看得见的。把⼀个直⾓分
为九⼗度，把⼀度分为六⼗分，我们也是得之于巴⽐伦⼈的；巴⽐伦
⼈喜欢六⼗这个数⽬，甚⾄于还有⼀种以六⼗进位的计数体系。希腊
⼈总是喜欢把他们的先锋⼈物的智慧都归功于是游历了埃及的结果，
但是在希腊⼈以前，⼈们所成就的东西实在是很少的。然⽽泰勒斯的
预⾔⽉蚀，却是受了外来影响的⼀个例⼦；我们没有理由设想他在从
埃及和巴⽐伦那⾥所学到的东西之外又增加了什么新东西，并且他的
预⾔得以证实，也完全是幸运的偶合。
让我们先看希腊⼈最早的⼀些发现与正确的假说。阿那克西曼德
认为⼤地是浮荡着的，并没有任何东西在⽀持它。亚⾥⼠多德①总是
反对当时各种最好的假说的，所以他就反驳阿那克西曼德的理论，亦
即⼤地位于中⼼永远不动，因为它并没有理由朝着⼀个⽅向运动⽽不
朝另⼀个⽅向运动。亚⾥⼠多德说，如果这种说法有效，那么⼀个⼈
若是站在圆⼼，纵令在圆周的各点上都摆满了⾷品的话，他也会饿死
的，因为并没有理由要选择哪⼀部分⾷品⽽不选择另⼀部分⾷品。这
个论证重⾏出现于经院哲学⾥，但不是与天⽂学联系在⼀起，⽽是与
⾃由意志联系在⼀起的。它以“布理当的驴”的形式⽽重⾏出现，布理
当的驴因为不能在左右两边距离相等的两堆草之间做出选择，所以就
饿死了。
①《论天》，295b.
毕达哥拉斯有极⼤的可能是第⼀个认为地是球形的⼈，但是他的
理由（我们必须设想）却是审美的⽽⾮科学的。然⽽，科学的理由不
久就被发现了。阿那克萨哥拉发现了⽉亮是由于反光⽽发光的，并且
对⽉蚀做出了正确的理论。他本⼈仍然认为地是平的，但是⽉蚀时地
影的形状却使得毕达哥拉斯派有了拥护地是球形的最后定论性的论
据。他们更进⼀步把地球看成是⾏星之⼀。他们知道了——据说是从
毕达哥拉斯本⼈那⾥知道的——晨星和昏星就是同⼀个星，并且他们
认为所有的星包括地球在内都沿着圆形⽽运动，但不是环绕着太阳⽽
是环绕着“中⼼的⽕”。他们已经发现了⽉亮总是以同⼀⾯对着地球的，并且他们以为地球也总是以同⼀⾯对着“中⼼的⽕”。地中海区域
位于与中⼼的⽕相背的那⼀⾯，所以就永远看不见中⼼的⽕。中⼼的
⽕就叫做“宙斯之家”或者“众神之母”。太阳是由于反射中⼼的⽕⽽发
光的。除了地球之外还有另⼀个物体，叫做反地球，与中⼼的⽕距离
相等。关于这⼀点，他们有两个理由；⼀个是科学的，另⼀个即得⾃
于他们算学上的神秘主义。科学的理由即他们正确地观察到了，⽉蚀
有时是当⽇⽉都在地平线之上的时候出现的。这种现象的原因是折
射，他们还不知道折射，于是就认为在这种情形下⽉蚀必定是由于地
球之外的另⼀个物体有影⼦的缘故。另⼀个原因就是⽇、⽉、五星、
地球与反地球以及中⼼的⽕就构成了⼗个天体，⽽⼗则是毕达哥拉斯
派的神秘数字。
毕达哥拉斯派的这种学说被归功于费劳罗，他是底⽐斯⼈，⽣活
于公元前五世纪的末期。虽然这种学说是幻想的，并且还有些部分是
⾮常不科学的，但它却⾮常之重要，因为它包含了设想哥⽩尼假说时
所必需的⼤部分的想象能⼒。把地球不设想为宇宙的中⼼⽽设想为⾏
星中的⼀个，不设想为永恒固定的⽽设想为在空间⾥遨游的，这就表
现出⼀种了不起的摆脱了⼈类中⼼说的思想解放。⼀旦⼈在宇宙中的
⾃然图象受到了这种摇撼的时候，就不难以科学的论证把它引到更正
确的理论上来了。
有许多观察对于这⼀点都是有贡献的。稍晚于阿那克萨哥拉的欧
诺⽐德发现了黄道的斜度。不久就明⽩了太阳到底是⽐地球⼤得多，
这⼀事实便⽀持了那些否认地球是宇宙的中⼼的⼈们。中⼼的⽕与反
地球，在柏拉图的时代之后不久就被毕达哥拉斯派抛弃了。滂⼟斯的
赫拉克利德（他的年代⼤约是公元前388—315年，与亚⾥⼠多德同
时）发现了⾦星与⽔星都环绕太阳⽽旋转，并且采取了地球每24⼩时
绕着它⾃⼰的轴线转动⼀周的见解。这种见解是前⼈所不曾采取过的
⼀个⾮常重要的步骤。赫拉克利德属于柏拉图学派，并且⼀定是⼀个
伟⼤的⼈物，但并没有象我们所能期待的那样为⼈尊敬；他被描述成
是⼀个肥胖的花花公⼦。萨摩的亚⾥⼠达克⼤约⽣活于公元前310—230年，因此约⽐阿⼏
⽶德⼤⼆⼗五岁；他是所有的古代天⽂学家中最使⼈感兴趣的⼈，因
为他提出了完备的哥⽩尼式的假说，即⼀切⾏星包括地球在内都以圆
形在环绕着太阳旋转，并且地球每24⼩时绕着⾃⼰的轴⾃转⼀周。但
是现存的亚⾥⼠达克的唯⼀作品《论⽇与⽉的⼤⼩与距离》却还是墨
守着地球中⼼的观点，这件事是有点令⼈失望的。的确，就这本书所
讨论的问题⽽⾔，则⽆论他采取的是哪种理论都并没有任何的不同；
所以他可能是认为，对于天⽂学家的普遍意见加以⼀种不必要的反
对，从⽽加重他计算的负担，乃是⼀桩不智之举；或者他也可能是仅
仅在写过这部书之后，才达到了哥⽩尼式的假说的。汤姆斯·希斯爵⼠
在他那本关于亚⾥⼠达克的书①⾥（书中包括原著的全⽂与译⽂）就
是倾向于后⼀种见解的。但⽆论情形是哪⼀种，亚⾥⼠达克之曾经提
⽰过哥⽩尼式的观点，这件事的证据却是⼗⾜可以定论⽆疑的。
①《萨摩的亚⾥⼠达克，古代的哥⽩尼》，汤姆斯·希斯爵⼠著。
⽜津，1913年版。以下所谈的即根据这部书。
第⼀个⽽且最好的证据就是阿⼏⽶德的证据，我们已经说过阿⼏
⽶德是亚⾥⼠达克同时代的⼀个较年青的⼈。在他写给叙拉古的国王
葛伦的信⾥说，亚⾥⼠达克写成了“⼀部书，其中包括着某些假说”；
并继续说：“他的假说是说恒星和太阳不动，地球则沿着圆周⽽环绕太
阳旋转，太阳位于轨道的中间”。在普鲁塔克的书⾥有⼀段话提到，克
雷安德“认为以不虔敬的罪名来惩罚亚⾥⼠达克乃是希腊⼈的责任，因
为他使得宇宙的炉灶（即地球）运动起来，这是他设想天静⽌不动⽽
地则沿着斜圆⽽运转，同时并环绕其⾃⾝的轴⽽⾃转，以图简化现象
的结果”。克雷安德是亚⾥⼠达克同时代的⼈，约死于公元前232年。
在另⼀段话⾥普鲁塔克又说，亚⾥⼠达克提出这种见解来仅只是作为
⼀种假说，但是亚⾥⼠达克的后继者塞琉古则把它当作是⼀种确定的
意见。（塞琉古的⿍盛期约当公元前150年。）艾修斯和塞克斯托·恩
⽪⾥库斯也说到亚⾥⼠达克提出了太阳中⼼说，但是他们并没有说他
提出这种学说来仅仅是作为⼀种假说。纵使他确乎是这种提法，那也
很可能他是象两千年以后的伽利略⼀样，是由于害怕触犯宗教偏见的影响所致，——我们上⾯所提到的克雷安德的态度，就说明了这种惧
怕是很有理由的。
哥⽩尼式的假说被亚⾥⼠达克（⽆论是正式地也好还是试验性地
也好）提出来之后，是被塞琉古明确地加以接受了的，但是并没有被
其他任何的古代天⽂学家所接受。这种普遍的反对主要地是由于希巴
古的缘故，希巴古⿍盛于公元前161—126年。希斯把希巴古描写为
是“古代最伟⼤的天⽂学家”①。希巴古是第⼀个系统地论述了三⾓学
的⼈；他发现了岁差；他计算过太阴⽉的长度，⽽误差不超过⼀秒；
他改进了亚⾥⼠达克关于⽇⽉的⼤⼩和距离的计算；他著录了850个恒
星，并注出了它们的经纬度。为了反对亚⾥⼠达克的太阳中⼼假说，
他采⽤了并改进了亚婆罗尼（⿍盛期约当公元前220年）所创造的周转
圆的理论；这种学说发展到后来便以托勒密的体系⽽知名，它是根据
⿍盛于公元⼆世纪的天⽂学家托勒密的名字⽽来的。
①《希腊的数学》，卷2，第153页。
哥⽩尼偶然知道了⼀些⼏乎已被遗忘了的亚⾥⼠达克的假说，虽
然知道得并不多；他为⾃⼰的创见能找到⼀个古代的权威⽽感到⿎
舞。不然的话，这种假说对于后代天⽂学的影响实际上是会等于零
的。
古代天⽂学家推算地球、⽇、⽉的⼤⼩以及⽇与⽉的距离时所使
⽤的各种⽅法在理论上都是有效的，但他们却受到了缺乏精确仪器的
掣肘。想到这⼀点，他们的许多成果就真是令⼈惊叹了。伊拉托斯蒂
尼推算地球的直径是7，850哩，这只⽐实际少五⼗哩。托勒密推算⽉
亮的平均距离是地球直径的29又1/2倍；⽽正确的数字是⼤约30．2
倍。他们之中还没有⼀个是多少接近到太阳的⼤⼩和距离的，他们都
把它估计得太低了。他们的估计若以地球的直径来表⽰的话，则
亚⾥⼠达克 是180倍，
希巴古 是1，245倍，
波西东尼 是6，546倍；
⽽正确的数字则是11，726倍。我们可以看出这些推算是在不断改
进着的（然⽽，只有托勒密的推算却表现了⼀种退步）；波西东尼①的推算约为正确数字的⼀半。⼤体上他们对于太阳系的图象，与事实
相去得并不太远。
①波西东尼是西塞罗的⽼师，⿍盛于公元前⼆世纪的后半叶。
希腊的天⽂学乃是⼏何学的⽽⾮动⼒学的。古代⼈把天体的运动
想成是等速的圆运动，或者是圆运动的复合。他们没有⼒的概念。天
球是整个在运动着的，⽽各种不同的天体都固定在天球上⾯。到了⽜
顿和引⼒理论的时候，才引进了⼀种⼏何性更少的新观点。奇怪的
是，我们在爱因斯坦的普遍相对论⾥又看到了⼀种返回于⼏何学的观
点，⽜顿意义上的⼒的概念已经又被摒弃了。
天⽂学家的问题是：已知天体在天球上的视动，怎样能⽤假说来
介绍第三个坐标，即深度，以便把现象描叙得尽可能地简捷。哥⽩尼
假说的优点并不在于真实性⽽在于简捷性；从运动的相对性看来，并
不发⽣什么真实性的问题。希腊⼈在追求着能够“简化现象”的假说，
事实上这已经是以科学上的正确⽅式触及到问题了，尽管并不是完全
有意的。只要⽐较⼀下他们的前⼈以及他们的后⼈（直到哥⽩尼为
⽌），就⾜以使每个⼈都对他们那真正令⼈惊异的天才深信不疑。
另外两个⾮常伟⼤的⼈物，即公元前三世纪的阿⼏⽶德和亚婆罗
尼，就结束了这张第⼀流希腊数学家的名单。阿⼏⽶德是叙拉古国王
的朋友，也许是他的表兄弟，于公元前212年罗马⼈攻占该城时被害。
亚婆罗尼从青年时代就⽣活在亚历⼭⼤港。阿⼏⽶德不仅是⼀位数学
家，⽽且还是⼀位物理学家与流体静⼒学家。亚婆罗尼主要地是以他
对于圆锥曲线的研究⽽闻名的。关于这两个⼈我不再多谈，因为他们
出现的时代太晚，对哲学并没有能起什么影响。
在这两个⼈以后，虽然在亚历⼭⼤港继续做出了可敬的⼯作，但
是伟⼤的时代是结束了。在罗马⼈的统治之下，希腊⼈丧失了随着政
治⾃由⽽得来的那种⾃信，并且在丧失这种⾃信的时候，也就对他们
的前⼈产⽣了⼀种⿇⽊不仁的尊敬。罗马军队之杀死阿⼏⽶德，便是
罗马扼杀了整个希腊化世界的创造性思想的象征。
