论不可分割的线^[1]

王成光译

【1】真如某些人所说，存在着不可分的线，以及一般而言在一切数量中存在着某种没有部分的单位吗？

如果“多”和“大”以及与此相反的“少”和“小”都是相似地构成的，如果近乎无限可分的东西不是少而是多，那么显然，“少”和“小”将有划分的极限；如果划分是有限的，就必然存在着某个没有部分的量度，所以，在一切量度中，内在着某种没有部分的单位，既然有“少”和“小”。

再者，如果存在着线的理念，而这个理念是所谓的第一数量，如果部分自然地先于整体，那么这个线自身就应是不可分的。同样的论证也适用于正方形、三角形和其他图形，以及一般而言的平面图形和其他物体；因为在这些情形中，也存在着某种在先的单位。

再者，如果一个物体中存在着多种元素，没有任何东西先于这些元素，如果部分先于整体，那么，火以及一般而言物体的每一元素就应是不可分的，所以，不仅在思想中，而且在感觉中，都存在着没有部分的某种单位。

再者，根据芝诺的论证，必然存在着某种没有部分的量度。既然在有限时间内不可能接触无限数目的东西，当要接触它们中的每一个时，运动必然首先到达它的一半，而半完全不是无部分的。如果沿着一条线被移动的事物在有限时间里接触无限的东西，其次，如果它被移行得越快，它在同样时间里越过的路程就越多，最后，如果思想运动是最快的运动，那它也应在有限时间里逐一接触无限的东西。所以，如果思想的逐一接触是可以计数的，那么，就可能在有限时间内计数无限数目的东西了。如果这是不可能的，就应该存在着某种不可分的线。

再者，数学领域中的人们也据以提出了相同的论证，因为他们说，如果成比例的线就是那些用相同尺度衡量的线，而一切被测量的线都是成比例的，那就应该有不可分的线。因为应该有某个一切线据以被测量的长度。这必定是不可分的。因为如果是可分的，那么它的各部分也是某种尺度。因为它们是和整体相称的。所以，某一部分的尺度就会是其双倍的一半；既然这是不可能的，那么尺度本身就应不可分。

正如由度量单位构成的线全是由没有部分的单位构成一样，由它度量的线也如此。同样的情形也应发生在平面图形上；因为出于理性的线段构成的所有平面彼此相称，所以，它们的测度单位将没有部分。然而，如果某个平面在某一测度单位被一条固定的、有限的线切割，那么这条线既不是理性的线，也不是非理性的线，不属于理性功能所属的其他功能的线，比如切割了的线或由两词项构成的线；虽然它们就相互关系而言是理性的线或非理性的线，但就自身而言，不具有任何自然特性。

【2】首先，不必追问无限可分的东西既不是“小”也不是“少”的问题了；因为我们所说的“小”这个术语针对的是地点、量度和一般而言的连续物，“少”也适合这些方面，但不适合我们所说的无限可分的东西。

其次，如果线存在于成比例的线中，那么我们所说的“少”是适于这些不可分的单位的，它们自身也包含着无数的点。但是作为线，它在某个点上是可分的，在任何点上亦如此；因此，可分的每条线都应有无限可分性。

【3】在这些划分中，有些很小，但它们之间的比例却是无限的。一切可分的线都能按给定的比例被分割。

【4】再者，如果“大”是由某些“小”构成的，那么“大”或者不是任何东西，或者是有划分极限的东西。因为整体具有与它的部分相同的划分。认为“小”的划分有限，“大”的无限，这是不合理的；然而他们却正是这样主张的。

所以显然，“大”和“小”是不应在这种意义上被述说的，因为在这个意义上，一个是有限的划分，一个是无限的划分。如果有人主张，在数目中“少”具有有限的划分，在线段中“小”也一定相同，那么，他的论证是荒谬的。因为就数目来说，整体是由没有部分的单位构成的，而且，某个单位是数目的本原，一切不是无限的数目都具有有限的划分；但就量度来说，并非如此。

我猜想，那些在理念中建立不可分的线段理论的人，当假定有这些线段的理念存在时，其根基同样较弱；而且在某种意义上，他们甚至通过他们的证明而摧毁了自己的论证。因为整个理念论就是被他们的论证摧毁了的。

再者，在物体的元素方面，主张它们没有部分，那是错误的。因为如果某些人这样证明，为了基本的认识，他们就要假定大前提。似乎可以认为，这大前提越是被假定物体和长度在二维和一维空间上越显得可分。

芝诺的论证没有证明被移动物在有限时间内通过同样方式接触无限的东西。因为“时间”和“长度”既被称为“无限的”，又被称为“有限的”，还具有同样的划分。

思想逐一接触无数物的过程是不可数的，如真有人认为思想这样接触无数物的话。也许这个假定本身就不可能成立；因为思想的运动不像被移动物的运动那样发生在连续的载体中。

即使它的运动是这样，这个过程仍然不可数；因为可数与一系列停顿相关。但是，不能解决这个疑难的那些人只好屈从于无力的论证，而无能的补充只能更加欺骗自己，这或许是荒谬的。

关于相称线段的论证，即一切线段都被同一尺度单位度量，完全是诡辩，最不符合数学公理；因为数学家不会这样设定，纵然他们这样做了，也毫无用处。同时，一切线段相称和一切相称线段都有共同尺度，这两种主张是相反的。

所以，他们的主张是荒谬的；他们宣称从他们的见解可证明数学家的观点，但他们只会陷入争执而又诡辩的论证，而且，这样论证也不充分。因为它在许多方面都软弱无力，在每种意义上都避免不了矛盾和反驳。

再者，下面的说法也不合理。他们误入歧途一方面是由于芝诺的推论，假定不可分线的存在，仅仅是因为他们不能反驳它们的存在；另一方面，也由于这一论证的不明白，即半圆上的直线运动必然接触圆周及其弧线上的无数间隔点；还由于他们否认关于圆的令人信服的事实，即如果半径在半圆上被运动，圆上必然应有诸如此类的被运动，然而，证明线的所有其他诸如此类的定理表明，不可能产生这样的运动，所以，它不会先就逐一接触每个间隔点；因为这些定理比那些更易被普遍接受。

因此，从我们所说的这些道理显而易见，不可分的线的存在既不是必然的又不是合理的。再者，从以下的论证，这应更明显。首先，从数学中表明的定理和设定的公理来看，它们被更有说服力的论证所接受或改动。

因为无论是线还是直线，由于它们既不处于某些间隔点之间，又没有中间点，所以，它们的定义都不适于不可分的线。

其次，一切线都是相称的。因为一切线都将由不可分的线度量，它们的长度和能力都是相称的。但是，不可分的线在长度上全都相称；因为它们是相等的；所以它们在能力上也是相称的。如果真是这样，那么每一正方形总是可以述说。

再者，如果适用于较长一边的线决定长方形的宽度，长方形与出于不可分的线的正方形在面积上相等，当把一定长的线运用到它的两倍长的线上时，那么，长方形的宽度就比不可分的线短；因为它的宽度比出于不可分的线的正方形的宽度短。

再者，如果三角形是由三条给定的直线构成的，那么，它也是由三条不可分的线构成的。在一切等边三角形中，垂直线落在底边的中间，所以，不可分的线就被分割了。

再者，如果一正方形由不可分的线构成，当引出一条对角线，垂直线落在对角线上时，正方形的边就能等于垂直线与对角线的一半之和，所以，它不是最小的线。

由对角线构成的正方形的面积不是由不可分的线构成的正方形的面积的两倍。因为当去掉相等部分后，它剩下的部分比不可分的线小；假若相等，对角线构成的正方形就会是原先正方形的四倍了。当然，某人或许也会收集到其他这样的例证；因为所说的这些都与数学公理相反。

再者，无部分的东西的连接方式只有一种，但线的连接方式却有两种；因为整线与整线既可以交叉相连，也可以首尾相接。

再者，一条线并到另一条线上，不会使整条线变得更大；因为把无部分的线置放在一起，不会使它们变得更大。

再者，由无部分的两条线不会构成任何连续的长度，因为每一连续的长度都有较多的划分，如果与不可分的线相反，每条线都是连续的，那么，就不应有不可分的线。

再者，如果与不可分的线相反，每条线都能被分成相等的和不相等的部分，那么，即使它由三条或者一般而言由奇数条不可分的线构成，不可分的线也是可分的。如若每条线平分为二，也同样如此；因为由奇数条线构成的每条线都包含有不可分的线的部分。如果任何这样的线都不能平分为二，而是由偶数条线构成的才行，即使在这种情形下，它也能被平分为二，因此，不可分的线是会被分割的，只是当由偶数条线构成时，线被分割成不相等的部分而已。

再者，如果被运动物在一定时间内整条线被运动，在一半时间里就将被运动半条线，在少于一半的时间里被运动的距离则少于半条线，所以，如果整个长度是由奇数条不可分的线构成的，那么，如若它在一半时间内通过一半的长度，不可分的线的平分就会再次出现；因为时间和线都按相同比例被分割。所以，没有任何合成线被分割成相等的和不相等的成分；如果它们在同样的时间里被分割，就不会是不可分的线。正如已经指出的，由无部分的线造成的所有这些东西存在着相同的道理。

再者，每一有限物都有两个限界；因为线正是被它们界定的。不可分的线不是无限的，所以也有一限界。因此，它是可分的；因为限界不同于自身是有限界的东西的限界。否则，在这两个范畴之外，就会有既不是无限的又不是有限的某条线存在了。

再者，在每条线中将不存在点；因为在不可分的线中，也不存在点；假如只有一个点存在，线也就是点了；假如有多个点存在，这条线就可分了。因此，如果在不可分的线中不存在点，那么一般而言，在任何线中也不存在点；既然其他线都由不可分的线构成。

再者，如果这样的点存在，在它们之间就要么没有任何东西，要么是线；如果它们之间存在着线，在所有线中就有多个点，线也就不是不可分的。

再者，不可能在每一条线上构成一个正方形；因为正方形具有长度和宽度，所以是可分的，既然长度和宽度都是某种量。但如果正方形可分，构成它的线也就可分。

再者，线的限界是线，而不是点。因为限界就是极限，不可分的线也是极限。因为如果点是限界，那么点对于不可分的线来说，也是限界，这样，一条线就比由点限界的另一条线更大了。但如果作为限界的点存在于不可分的线中，由于两条连接的线有相同的限界，无部分的线也就有某个限界。那么，一般而言，点和线之间的差别是什么呢？因为与点相比，除了名称外，不可分的线没有任何特殊性质。

再者，平面和立体是在同样的意义上不可分的。因为如果一方不可分，其他东西也随之如此，既然一方是根据另一方而被分开的。但是，立体由于有高度和宽度，不是不可分的，线也不应不可分；因为立体是靠平面而成的，平面是靠线而成的。

既然他们企图据以证明其观点的那些论据，既是无力的又是错误的，而他们的观点又与一切有说服力的看法相反，那么显然，不应有不可分的线。从这些论证明显可见，不可分的线也不应由点构成。因为相同的论证差不多适用于更多的情形。

因为线必然被分成点，只是当线由奇数个点构成时，分成相等的部分，由偶数个点构成时，分为不相等的部分而已；而且，线的部分不是线，平面的部分不是平面。

一条线会大于由点构成的另一条线；它也大于由以构成的、且具有的那些成分。从数学中的公理来看，这显然是不可能的，而且，还将得出被移动物在一定时间里通过一点的结论，如果它在较长时间里经过较大距离，在相等时间里经过相等距离，但是一个时间多于另一时间的部分仍是时间。

然而，也许时间是由一系列“现在”构成的，两种说法是同一道理。

如果“现在”是时间的开端和限界，点是线的开端和限界，但开端和限界不是连续的，而是有某种东西存在于它们之间，那么，现在和点彼此都不应形成连续的整体。

再者，线是某一量度，但点的聚合并不形成量度，因为这样的聚合不会占据更大的地方。因为当把一条线加到另一条线上并与之重合时，宽度不会变大。如果点内在于线中，它们也不会占据更大的地方，所以，它们不会导致量度。

再者，如果它们每一个都接触每一个，或是整体与整体相接触，或是部分与部分相接触，或是整体与部分相接触，但既然点是无部分的，因此应该是整体与整体相接触。但整体与整体相接触，结果必定是一。因为如果某东西不是另物，整体就不应与整体接触。如果无部分的东西一起处在一个地方，所占据的就是先前由其中之一占据的相同地方；因为处在一起，但各自都没有由于自身的延伸能力的两个东西，可以共用同一个地方。但是既然无部分的东西没有间隔，所以，由无部分的东西构成的事物不应有连续的量度。因此，线不由一系列点构成，时间不由一系列“现在”构成。

再者，如若线由点构成，点就会与点相接触了。设从K点出发，作AB和CD两条线，AK中的起点和KD中的起点相接触于K；所以，这两个点相互接触；因为不可分的接触不可分的，正像整体接触整体。所以，它占据的是与K点相同的地方，各个点将在同一个地方相互接触。而如果它们在同一个地方，当然就会接触；因为处在同一个地方的最初的东西必然接触，如果这样，那么一直线就在两个点上与另一直线接触。因为AK中的点是要接触KC中的点和其他点的。所以，AK在多个点上与CD接触。同样的论证不仅适用于两条相互接触的线，也适用于任意条相接触的线。

再者，圆的周线在许多点上与切线接触。因为圆周上的点和切线上的点都在相碰点上接触，并且是相互接触的。如果这不可能，点与点的接触也就不可能；而如果点不接触，线就不是点构成的，因为否则它就必定接触了。

再者，直线和曲线的情形又会如何呢？因为无论直线中还是曲线中的点，其接触是没有区别的。因为无部分的线与另一无部分的线接触，只能是整体对整体，不会有其他接触方式。因此，如果线有差别，而点的接触没有差别，那么，线就不由点的接触构成，所以，线也就不由点构成。

再者，点与点必然要么相互接触，要么不接触。如果它们必然一个挨一个地接触，论证就是相同的；如果一个挨一个的东西有可能不接触，那么我们就说除了它们的组成部分接触外，没有什么东西是连续的，所以，如若这样，点与点必然是相互接触的，否则线就不是连续的。

再者，如果把点置于点上形成线，把线放在点上形成面是荒谬的，那么，他们的说法就不能成立。因为如果点都是挨着的，线就不会在任何一点上，而是在它们中间被分割；另一方面，如果它们相接触，线就会在一个点的位置。但这是不可能的。

再者，所有几何图形都是可分的，并可分解成点，而点是体的部分，既然体由面构成，面由线构成，线由点构成。如果每一事物都由它的最初元素构成，那么点就应该是体的元素。所以，元素会有相同的名称，在属上也无差别。

从这些论述显而易见，线不是由点构成的。点也不能与线分离。如果它能分离，也就可能被增添了；当增添某物时，被增添的那个东西就比开初更大，假如增添物是如此性质，以至形成统一整体的话。因此，一条线就会比由点而成的另一条线更大，但这是不可能的。当然，说它不可能是就自身而言，但就偶性而言，从线中抽去点还是可能的，在被抽离的线中就存在这种情形。因为如果整体被抽离，开端和终端也会被抽离，而线的开端和终端都是点，所以，如若从线中抽离线是可能的，从线中抽离点也就可能了。但这种抽离只是就偶性而言的。如果终端接触的是终端的那个东西，即或是自身，或是自身的某个部分，点作为线的终端也会接触它，那么，一条线会大于由点而成的另一条线，点将由点构成；因为在两个接触物之间没有任何东西。

同样的论证也适用分割，如果分割是点的分割，如果分割要接触体上与面上的某东西；正如体由面构成，面由线构成一样。

把点说成是线中的最小成分，这是不正确的。

因为如果把它说成是线的最小成分，那么，这个最小成分就会比最小的那些东西更小，但是在线中，除点和线外，没有任何其他东西，而线不比点大（因为线构成的面也不比线大），所以，点不是线中最小的成分。

即使点可与线比较，“最小”这个词也只能在三个方面使用，因此点不是线中最小的成分。在长度中，除点和线外还存在着另外一种东西；因为它不是由点构成的。但是，如果地点中的东西或者是点，或者是长度，或者是平面，或者是立体，或者是由这些构成的某物，而且，如果构成线的成分在地点中（因为线在地点中），如果线中既无体，又无面，也没有由这些构成的某东西，那么，一般而言，在长度中除了点和线外，也就不会有任何东西。

再者，“较大”这个术语是针对地点中的存在物，即长度、平面或立体而言的，而点在地点中，但在长度中的存在物除了点和线外，没有前述的那些东西，所以，点不是线的最小成分。

再者，如果“房屋里的最小东西”这个短语与房屋的尺度没有关系，其他东西也是如此，那么，线中的最小东西与线也没有关系；所以最小这个术语不适用于线。

再者，如果不在房屋中的东西不是房屋中的最小东西，其他东西也如此（因为点可能由于自身而存在），那么，基于这点而言，说点是线中最小的成分是不正确的。

再者，点不是一个不可分的接头^[2]。因为接头总是两个东西的限界，但点只是一条线的限界。再者，点是终端，而接头更可分开。再者，线和面是接头，因为它们与接头有相似之处。再者，在一定意义上接头是由于移动，因此恩培多克勒把线描写成“一个接头拴连两物”；但是点存在于不动的东西中。再者，在肉体中或手中没有无限多的接头，但有无限多的点。再者，石头不是接头，也没有接头，但却有点。

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注释

[1] peri Atomon grammon据《洛布古典丛书》希腊本文。

[2] arthron adiaireton。