机械学^[1]

徐开来译

我们感到很奇怪，有些事物的出现虽合乎自然，但我们不知其原因，有些东西虽反乎自然，却是由于技术，为了人类的利益而生成的。在许多场合，自然做出的事情与我们的用途相反；因为自然总是单纯地采取同一种方式行事，而我们的用途却经常多变。所以，当我们不得不反乎自然地做某种事时，由于有难处，我们感到困惑，因而必须使用技术。因此，我们就把帮助我们对付这类困惑的那部分技术称为机械。正如诗人安提丰的诗所说（他的话也确实正确）：

在自然面前失败的事物，

我们靠技术来完成。

例如较小的东西控制较大的东西，小的动力运动大的重量，而且，我们称为机械学问题的几乎所有问题都是这种情形。这些问题与自然学问题既不完全相同，也不截然分离，而是在数学和自然学理论方面有共同点；因为要通过数学来证明何以如此，通过自然学来表明与何物相关。

与杠杆相关的问题也被包含在这类问题中。一个大的重量被小的力所运动，并且加上更多的重量也如此，这似乎很奇怪；因为如无杠杆，人是不能运动这相同的重量的，但加上杠杆的重量后，人却能很快地运动了。

所有这类现象的初始原因是圆。其所以如此，是很自然的；因为由更奇特的东西导致某种奇特的结果是不足为奇的，而最奇特的事情莫过于对立面的相互生成了。圆就是由这样的对立面构成的；因为它直接由运动和静止生成，而运动和静止的本性是彼此对立的。所以在这里人们不太会因关于圆的矛盾的出现而感到奇怪。因为首先，就圆的周线（它没有宽度）而言，对立就出现了，即凹与凸。凹与凸是彼此对立的，犹如大和小一样；因为在后一场合，中间是相等，在前一场合，中间是直线。因此如果大与小要彼此变成对方，那么，在变向另一极端之前，必然先变得相等；同样，当线段由凸变成凹或反过来由凹变为凸或曲之前，也必须先变直。所以，这是圆的一个特性。圆的第二个特性是，它同时在相反的运动方向被运动；因为它同时朝前面和朝后面的地方被运动。画出圆的线也具有同样性质；因为它的外端由以起始的地方，与它最后回到的地方是相同的；因为当它连续地被运动时，最终又回到了起点，这样，它就显然从那里发生了变化。

因此，正如前面已说过的，在作为一切奇特现象之本原的圆那里，并没有丝毫的怪诞之处。所以，秤方面发生的事情可归因于圆，杠杆方面出现的事情可归因于秤，而其他几乎一切机械运动方面的事情则可归因于杠杆。再者，在从中心画出的作为半径的同一条线上，没有任何两点是以相同的速度被运动的，相反，总是离固定的中心愈远的点被移动得也愈快，正因如此，在圆的运动方面，才出现了许多令人感到奇特的现象。关于它们，在下面的问题中将得到证明。

由于圆同时在两个相反的方向被运动，而且，由于直径的一端（设在A点）朝前被运动，另一端（设在B点）则朝后被运动，所以，有些人就从单一的运动提出多个圆同时在相反方向被运动的设计，就像他们做出来供奉在神庙中的铜制和铁制的多轮车一样。设直径为AB的圆与直径为CD的另一个圆相触，如果圆AB的直径朝前被运动，那么，和AB相比，圆CD的直径就会朝后被运动，假如这条直径的被运动是围绕着同一点的话。因此，圆CD将会朝着与圆AB相反的方向被运动。再者，由于同样的原因，圆CD又会使与它相触的圆EF朝着与它相反的方向运动。同样，假如有许多个圆，只要有一个圆在被运动，这种情形也依然会发生。技师们正是理解了存在于圆中的这种特性，才设计出器械，但又掩隐了原理，所以，显现于外的仅仅是机械的奇特，原因则是不明白的。

【1】那么首先，秤方面出现的情况会发生疑问。由于什么原因，较大的秤要比较小的秤更准确？这个问题的根源是：在圆中，虽然使用的是同样的力，但为什么离圆心远的半径比离圆心近的、较小的半径被运动得更快些？“更快”这个词有两层含义：如果一物在较短的时间中通过相等的距离，我们称之为更快；如果它在相等的时间中通过较长的距离，我们也说它更快。更大的半径在相等的时间中画出更大的圆；因为外面的圆周线比里面的更大。

其原因是，画圆的半径经历的是两种移动。当被移动物按某种比例朝着两个方向被移动时，它必然是在直线上被移动，而这条线就成为按这种比例构成的多条线段所形成的图形的对角线。

设被移动物在被移动时的比例为AB比AC；设AC被移动到B，AB被移动到GC；再让A被移动到D，AB被移动到E。那么，如果移动的比例是AB对AC的比例，线段AD对AE必然也有相同的比例。可见，小的平行四边形和大的平行四边形在比例上是类似的，所以，它们的对角线相同，A将到达F。无论它的移动在哪一点上被阻止，也同样能得到证明；因为它总是在对角线上。所以显然，沿着对角线作两种移动的被移动物，必然按平行四边形边的比例被移动。因为如若按其他什么比例，它就不会沿对角线被移动了。而如果作两种移动的东西不按一定的比例在某一时间中被移动，它的移动也就不可能在一条直线上。因为已设定它是在直线上。如果这条线是作为对角线画出的，而且平行四边形的边也具备了，那么，被移动物就必然按照边的比例被移动。这一点，在前面已被证明了。因此，在某一时间中的被移动物如果不按一定的比例，就不会形成一条直线。因为假如它在某一时间中按某种比例被移动，它在这个时间之内，就必然呈直线，其理由已如上述。所以，当作两种方向移动的东西在某一时间不按一定比例被移动时，曲线就形成了。

画圆的半径同时有两种方向的被移动，通过上面的考察已清楚了；而且也因为，沿直线的被移动物是垂直地被移动，所以，它再次垂直地处在圆心上面的某一点。设ABC为一个圆，让圆周上的B点被移动到D，然后到达C。假如它按BD对DC的比例被移动，它也就会沿着对角线BC被移动了。但是现在，既然它没有处在这样的比例中，它就沿着圆周线BEC被移动了。如若在被相同的力引起的两种移动中，一种受的干扰较大，另一种较小，那么，假设受干扰大的这个比受干扰小的那个被运动得较慢就是很合理的。这种情形似乎发生在从中心画圆的半径较大和较小的场合。因为由于较小半径的外端比较大半径的外端离静止的圆心更近，犹如从相反方向被拉向中心，所以，较小半径的外端被移动得较慢。这种情形发生在画圆的每一半径上，而且，它沿着圆周曲线被移动，合乎自然地朝着切线的方向，但却反乎自然地朝向中心。较小的半径总是更反乎自然地被移动；因为由于它离反拉它的中心更近，所以更受制约。在从同一中心画出的圆中，较小的半径和较大的半径相比，更反乎自然地被运动。关于这一点，可以证明如下。

设BCDE为一个圆，XNMO为在它之内的另一个较小的圆，两个圆有同一个中心A；大圆的直径为CD和BE，小圆的直径为MX和NO；并完成长方形，设为DYRC。如果画出大圆的半径AB再回到它由以开始的相同位置，即回到AB，那么显然，它被移动到了自身。同样，AX也回到了AX。但是，AX比AB被移动得更慢，因为正如已说过的，AX受的干扰更大，更会遇到阻碍。

现在，画出AHG，从H点引出一条与圆内的AB垂直的线HF；再从H点引出HZ，让它与AB平行，然后引出垂直于AB的ZU和GK。可见，ZU与HF是相同的。所以，BU比XF小；因为在不相等的两个圆中，画出的与直径成直角的相等的直线分割的是较大的圆中直径的较小部分，ZU和HF相等。现在，在相同的时间内，小圆的半径AH所画出的弧线XH要比大圆的半径BA的外端画出的弧线BZ更大。因为合乎自然的移动是相等的，但反乎自然的移动要小些；BU比XF要小。但是，它们应该合比例，合乎自然的移动对合乎自然的移动的比例与反乎自然的移动对反乎自然的移动的比例是相等的。

因此，BA实际上画出的是比ZB大的弧线GB。在这个时间内，它必然画出了GB；因为当合乎自然与反乎自然的两种运动之间保持比例时，它应该是在这里。如果在大圆中合乎自然的运动更大，那么，反乎自然的运动则仅仅在这种场合才会随之更大，即当X沿着XH被移动时，B沿着BG被移动。因为在这种场合，B点合乎自然地移到G，反乎自然地移到K，既然GK是从G引出的一条垂直线。GK对KB的比例与HF对FX的比例相同。假如把B和X分别与G和H连接，就清楚了。但是，如果B被移动的距离比GB小或大，其结果就不会相同，两个圆中合乎自然的移动与反乎自然的移动之间也就不会有比例。

由于什么原因，离中心更远的点被移动得更快（虽然源出于同样的力），更大的半径画出的圆弧也更大，经过上面的论述，现在已清楚了。通过这些论证，大秤为什么比小秤更准确也很清楚。因为悬吊着秤的绳子是中心（因为它是不动的点），秤两边的部分则是从出于中心的半径。所以，在相同重量的作用下，秤的外端必然按它离秤绳更远的相同比例，被运动得更快，而且，就感觉而言，有的重量在小秤上不明显，但在大秤上却明显；因为没有什么阻碍小得哪怕连眼睛也察觉不出的微量物的运动。但在大秤上，相同的重量却使运动可见。有些重量虽在两种秤上都显现，但在大秤上的却明显得多，因为在大秤上，由相同重量引起的移动幅度要大得多。正因如此，那些身着紫衣的奸商，用自己玩弄的花招来称东西。譬如，他们不把秤绳安放在中心点，把铅灌进秤杆的一边；或在他们希望朝其倾斜的那一端使用树木的根部或结疤处的木料来做秤杆，因为树木根部的这一部分要重些，结疤处也是某种意义上的根。

【2】如果秤绳是从上面固定的，当秤杆倾斜后取下重物时，秤便会再次朝上翘起，相反，如果秤绳是从下面固定的，它就不会翘起，而是静止不动。这是为什么呢？难道是因为当秤绳从上面固定时，秤杆的大部分出现在垂直线的那一边吗？因为秤绳是垂直的。所以，大部分秤杆的那一边必然下斜，直到把秤杆一分为二的线本身达到垂直，既然重物压在秤杆的翘起部分。设BC为一根直的秤杆，AD为秤绳。

如果把秤绳固定下去，就形成垂直线ADM。如果重物压在B这一边，B会下移到E处，C则会上移到F处，所以，开初把秤杆一分为二的那条垂直线的一部分即DM，当秤杆被重物所压时，就成了DH。因此，秤杆EF中处在垂直线AM之外的那个部分，就会超过一半，即比HP这一长度更多。如果把重物从E处取掉，F必然下降，因为E端要短些。可见，如果秤绳是从上面被固定的，秤杆就会因重物的被取而再次上翘。

但是，如果秤绳是从下面被固定的，则会造成相反的结果。因为这时，秤杆朝下的部分要超过一半，或者说，比原来垂直线划分的一半要多，所以，秤杆不会上翘；既然上面的那部分要轻些。设秤杆为NO（它是直的），垂直线为KLM，它把NO分为两半。当重物放在N边时，N将下降到S处，O则上升到R处，垂直线KL变成LH，所以，由于HKL，KS比LR要大。当重物被取掉时，秤杆必然保持在现有位置不动；因为超过半数的那一端是SK，它犹如重物压住秤杆。

【3】正如我们在本文一开始就说过的，为什么借助杠杆，小的力能运动大的重量呢，虽然在此时，还加上了杠杆本身的重量？因为重量愈小，愈容易被运动，而如果无杠杆，重量会小些。其原因是杠杆类似于从下面固定秤绳、且被分成不相等的两边的秤杆吗？因为支点的出现替代了秤绳，它对两边都是静止的，犹如中心。既然在相等重量的作用下，离中心愈远的半径被运动得愈快，既然杠杆需要三个因素，即一个支点（它犹如秤绳和中心）和两个重量（一个是运动者，另一个是被运动物），那么，被运动的重量对运动它的重量的比例就与负重臂的长度对运动臂的长度的比例相反。离支点的距离愈远，运动起来也总是愈容易。其原因前面已经说过，即，离中心愈远的半径所画的圆也愈大。所以，在同样的力作用下，运动者由于离支点更远，就会更大地变换其位置。设AB为一杠杆，C为被运动的重量，D为运动者，E为支点，D在运动了重量后所处的位置为G，重量C在被运动后的位置为K。

【4】为什么在船中部的人能最快地运动船？是因为船桨就像杠杆吗？因为桨架是支点（因为它是静止的），海水是船桨要排走的重量，划船的人则是运动杠杆的运动者。运动重量的人离支点愈远，他所运动的重量也总是愈大；因为这时，离中心的距离更大，而作为支点的桨架就是中心。在船的中部，桨的大部分都在船内；因为在那里，船最宽敞，所以，桨的更多的部分可以在船舷两边的每一边内。船之所以被运动，是由于当桨压击海水时，船内的桨柄在朝前推进，因为桨架是被固定在船上的，所以，船也就随着桨柄前进的方向一起前行。桨排走的海水愈多，船也必然被推进得愈快；而在桨柄离桨架最远的地方，桨排走的水最多。正因如此，在船中部的划船人运动船最快。因为桨从船内的桨架升出最远的地方正是船的中部。

【5】为什么装在船尾的小小的舵具有如此大的力量，以至于仅靠一只很小的舵柄和一位轻轻用力的舵工就能有力地运动载重量大的船呢？是因为舵亦如杠杆，掌舵者在使用杠杆吗？那么，它被固定在船上的那一点就成了支点，整个舵是杠杆，海水是重量，掌舵人则是运动者。但是，舵并不像桨那样直角似地击压海水。因为它不是把船朝前运动，而是在船被运动时，使它转向，并斜着迎接海水。因为既然海水是重量，那么，当它从相反方向冲击船时，便会使其偏向。因为支点转到与海水相反的方向：海水转向内，支点转向外。由于它被固定在船上，船也就随它转动。桨是直角似地推动重量，而且反过来，它又被重量所推动，这样，就使船笔直向前。然而，正如舵的位置是斜的一样，它所造成的运动也是朝这边或那边倾斜的。之所以把舵安在尾部而不是中部，是因为源于尾部的动力最容易运动被运动物。因为最初的部分被移动得最快，原因在于，正如在被移动物中，移动在最后要停止一样，连续物也如此，在最后时，其移动最弱。而如果最弱，就容易被抑阻。正因如此，舵被安在船尾，而且也因为，由于那里发生的运动很小，在尾部的排水量就大得多，既然同样的角是在更长的底边上，并且按比例而言，圆周线也更长。从这里也能明白，为什么船比桨叶朝相反方向前进得更远；因为同样大小的东西当被同样的力运动时，它在空气中要比在水中前进得更远。设AB为桨，C为桨架，A为桨在船内的部分，即桨柄一端 ^[2]，B为桨在海中的一端。如果A被运动到D点，B则不会到E点；因为BE与AD是相等的，所以，如若B到了E点，它被运动的距离就会与A相等了，然而，它的距离短些，是在F点。因此，分割AB的H就不是在C处，而是在它下面。因为BF比AD小些，所以，HF比DH也要小些；既然三角形是相似的。作为中心的C也会被转动；因为它朝着相反方向，朝处在海中的B端转动，而且，在与船内的A端相同的方向上，A的位置转变到D。所以，船的位置会改变，桨柄所在的那一点亦会改变。舵也会造成同样的变化，除非如我们在上面所说的，它与船的前进运动毫不相干，而只是把船尾朝这边或那边弄斜；因为在这种情况下，船头是朝着相反方向的。舵被固定的那一点，必须被想象成犹如被运动物的某种中心，就像桨的支架一样。但是，船的中心却是按舵的方向被运动的。假如舵的方向朝内，船尾也会随之转换；但船头却是朝着相反方向的；因为当船头处在相同的地方时，船的整体位置变换了。

【6】为什么桅杆愈高，扯着同样的船帆，在同样的风中行驶的船开得愈快？是因为桅杆如杠杆，它被固定于其中的套洞是支点，需要它运动的重量是船，运动者则是帆中的风吗？如果支点愈远，同样的力在运动同样的重量时，愈容易，愈快速，那么，升得愈高的桅杆也就使得帆离作为支点的套洞愈远。

【7】为什么当风向不利，水手们想从中逃脱时，他们要把朝向舵手的那一部分帆收缩，并把朝向船头的那部分帆的绳索放松？是因为当风很强时，舵不能将其顶住，只有在风微小时才顶得住，所以，他们要收缩风帆吗？这样，风就助船前行，而舵却把风变成有利的、用以对付海水的杠杆。同时，船员们要与大风搏击，因为他们倚靠在相反的方向。

【8】为什么球体和圆环物更容易被运动？一个圆形物的运动可能有三种方式：或者沿着外缘，其中心也随之改变位置，犹如车轮的滚动；或者仅仅环绕中心，就像滑轮的转动，其中心保持不动；或者进行与地面平行的平面运动，其中心不动，犹如陶工旋盘的转动。这些东西的被运动之所以最快，是因为与地面的接触很少，正像圆只有一点与地面接触一样；而且也因为没有摩擦，因为角是离开地面的。再者，即使它们与别的物体相遇，也只有很小的接触面。假如是个直线形物体，由于边是直的，与地面接触的面就很大了。再者，运动者在运动圆形物时，是与它的重量倾斜的方向一致的。因为当圆的直径与地面成直角时，由于圆只在一点上与地面接触，所以，直径划分给两边的重量是相等的；但是，当它被运动时，它被运动所朝向的那一边就立即更重了，仿佛倾斜了似的。因此，对推动者来说，将它朝前推动就更容易；因为朝其倾斜的方向运动任何物体都较容易，正如朝其倾斜的相反方向推动会更困难一样。再者，有些人说，在移动中的圆的周线是连续 ^[3]的，正如静止的东西由于阻力而静止一样，例如，在较大的圆和较小的圆的比较中就可明白这一点。因为在同样的力作用下，较大的圆不仅被运动得快，而且还能运动较大的重量，其原因在于，和较小的圆相比，较大的圆的角有某种倾斜，而这种倾斜与一个圆的直径对另一个圆的直径的比例相同。相对于更小的圆而言，每个圆都是更大，因为更小的圆是为数无限的。如果和另一个圆相比，某个圆有着较大的倾斜，且相应地易于被运动，那么，圆以及被圆所运动的东西也应有另一种倾斜，假如它们不用外缘接触地面，而是要么平行于地面，要么像滑轮一样的话；因为在这种情况下，它们既容易被运动，又能运动重量。但是，这并不是因为接触面小和摩擦力小，而是由于另外的原因。这个原因前面已经讲过，即圆是由两种运动构成的，所以，其中的一种总有倾斜，而且，当运动者们在它周线的任何一点上运动它时，总是按它自己被移动的方向来运动的。他们是在它已在被移动时运动它；因为运动的力迫使它在切线的方向上运动，而圆自身却是沿着直径被运动。

【9】为什么由较大的圆提起或拖开的东西，我们运动起来更容易，也更快？例如，大的滑轮就比小的更易被运动，滚轴的情形亦复如此。或许是因为，事物离中心的距离愈远，它在相等的时间中被运动的地方也愈多，所以，当负载相等的重量时，它也会造成同样结果，正如我们已说过的，大秤要比小秤更准确一样。因为秤绳是中心，秤绳两边的秤杆是从中心出发的半径。

【10】为什么当秤上无重负时要比有重负时更容易被运动？车轮或其他类似的东西也如此，较小的和较轻的比较大的和较重的更容易被运动。重物之所以难以被运动，是否不仅由于纵向的方向相反，而且还因为横向的角度？因为要在物体倾斜的相反方向上运动该物，是有些困难的，但朝它倾斜的方向运动，却比较容易；然而，物体不会朝横向倾斜。

【11】为什么在滚轴上比在马车上更容易传送重物，虽然马车的轮子大，而滚轴的圆周很小？是因为在滚轴上没有什么摩擦，而在马车上有车辊，车辊产生摩擦吗？因为车辊承受的压力不仅来自上方，而且来自旁边。滚轴上的东西是在滚轴的两点上被运动，即下面作为载体的地面和上面压下来的重量；因为圆在这些点上转动，并在移动时被推进。

【12】为什么从投掷器中抛出的投掷物比从手中扔出去的被移动得更远？本来，投掷者用手抓住比悬挂着更能控制住重物。此外，在后一场合，他要运动两个重量，即投掷器和投掷物，但在前一场合，他只需运动投掷物。是因为在人投出时，投掷物已在投掷器中被运动了（因为在把它投出之前，他已圆圈似地挥舞了它多次），而在从手中掷出时，是从静止状态开始的吗？任何东西当已在被运动时，都比在静止时更容易被运动。除了这个原因之外，或者还因为，在使用投掷器的场合，手成了中心，投掷器成了半径？半径愈大，被运动得也愈快。从手中抛出的投掷物与从投掷器中掷出的相比，半径要小些。

【13】为什么围绕着同一个转轴的把手，较长的要比较短的更容易被运动？同样，为什么在相同的力作用下，较轻巧的绞盘要比较笨重的绞盘更容易被运动？是因为绞盘和转轴是中心，从中心延伸出去的量度是半径吗？在同样的力作用下，大圆的半径比小圆的半径被运动得更快、更远；因为在同样的力作用下，离中心愈远的外端被运动得愈快。因此，对于转轴，人们用把手来当工具，以便容易转动；而在轻巧绞盘的场合，外面的部分离中间的圆筒更远，这个部分就成了半径。

【14】一块大小相同的木柴，如果把它的两端放在离膝盖等距离的位置，为什么比放在离膝盖很近的地方更容易在膝上被弄破？同样，如果把木柴立在地上，再把脚放在上面，为什么抓它的手离脚有一定距离比挨脚很近更容易把它弄破？是因为前一场合的膝盖和后一场合的脚都是中心吗？每一事物离中心愈远，也就愈容易被运动。被弄破的东西必然被运动。

【15】为什么海滩上的所谓鹅卵石是圆的，虽然它们最初是由长的石头和贝壳类形成的？是因为在事物的运动中，离中间较远的部分就被移动得快吗？因为中间就是中心，从它到外缘的距离就是半径。在同等的运动条件下，半径愈大，所画出的圆也总是愈大。在相等的时间中，所经过的距离愈大的东西被移动得就愈快。通过相等距离愈快的被移动物，被碰撞得也愈坚硬。愈碰撞他物的东西，自身也愈被碰撞。所以，离中间较远的那些事物部分必然总是被磨损，在承受这种变化的过程中，它们就变成圆的。就鹅卵石而言，由于海水的运动，由于它们要随着海水而被运动，其结果，它们就总是处在不断的运动中，而且，在它们滚动时，就会与他物发生摩擦。这种后果必然地特别出现在鹅卵石的表层。

【16】为什么木条愈长，其力量愈弱，当把它们举起来时，愈容易弯曲（例如，一根2腕尺长的薄而短的木条，要比一根100腕尺长的厚木条更不容易弯曲）？是因为当一根长木条处在被举起的状态时，就形成了一种杠杆、一个重量和一个支点吗？因为它的第一部分，即被手托举的那个部分，就成为支点，另一端顶的部分则是重量。所以，它离支点的距离愈远，必然愈弯曲；因为离支点愈远，弯曲的幅度必然愈大。那么，杠杆的端顶必然被举起。如果杠杆是弯曲的，它在被举起时，必然更被弄弯。长木条上出现的情形正是如此。短木条刚好相反，其端顶离静止的支点很近。

【17】为什么用小的楔子能劈裂大的重量和体积很大的物体，产生出强大的压力？是因为楔子形成了两个彼此相反的杠杆，每一个都有重量和上抬、下压的支点吗？此外，敲击楔子所造成的移动碰撞楔子，运动它，并使它的重量变大；而且，由于它以很快的速度运动已在被移动的东西，产生的力量更大。这样，大的力量就附随于小的物体上。因此，我们应注意到它产生了与它的体积相比较而言要大得多的运动。设ABC为楔子，DEGF为它锲入的物体。那么，AB是杠杆，重量在B下面，FD是支点。在与此相反的另一边，BC是杠杆。当AC被敲击时，它就用上了这两个杠杆；因为在B点有朝上的压力。

【18】如果有人把两个滑轮安放在处于相反位置的两根木头上，围绕着它们圆圈似地安一根绳子，绳子的一端绑在其中一根木头上，另一端靠滑轮固定或穿过滑轮，那么，如果有人拉扯绳子的一端，为什么能拉起很大的重量，即使拉扯的力气较小？是因为和用手相比，如果使用杠杆，同样的重量能用较小的力量举起吗？滑轮的作用与杠杆相同，所以，即使只有一个滑轮，也比较容易拉起重物，而且，即使一股小的拉力，也比用手举起的东西重得多。两个滑轮能拉起比双倍速度还大的重量。因为当绳子从一个滑轮穿到另一个时，第二个滑轮拉的重量比它自身单独拉的要小；因为那个滑轮使重量变小了。这样，如若穿过的绳子多，即使只有少数几个滑轮，造成的差别也是很大的，所以，假如第一个滑轮承受的是4米那的重量，那么，后面几个承受的就要小得多。在建造房屋的活动中，它们能轻而易举地运动起大的重物；因为重物从一个滑轮转送到另一个，再从那个滑轮转送到转盘和杠杆上；这与制造许多滑轮是一样的。

【19】如果某人将一把大斧头放在木柴上，并在它上面加一个大的重量，为什么它不会使木柴裂开一条大口？但如果某人举起斧头，用它劈木柴，会使其破开，虽然和把斧头放在木柴上以及对其产生的压力相比，它在劈木柴时的重量要小得多。这是否因为一切效果都因运动产生，重物体在被运动时，比在静止时更能获得重的运动？所以，当被放在木柴上时，斧头没有被运动出重的运动，而当它被移动时，就不仅有了这种运动，还有劈击的运动。再者，斧头的作用像楔子；楔子虽小，却能劈裂大物，因为它由两个在相反方向起作用的杠杆构成。

【20】为什么抬秤 ^[4]能以小的重量提起重量大的肉，而且整个抬秤只是秤的一半？既然秤盘只被固定在放置重物的那一端，另一端只有抬秤本身。是因为抬秤既是秤，同时又是杠杆吗？因为就每根秤绳成了抬秤的中心而言，它是秤。在它的一端有秤盘，在另一端，取代秤盘的是被固定在秤上的一个圆形重物，犹如某人把另一只秤盘和称重物放在抬秤的另一端似的；因为很显然，当它躺在另一只秤盘中时，会拉起同样多的重量。但是，由于这一杆秤是作为多杆秤起作用的，所以，多根这样的秤绳就被固定在这种秤上，在圆形重物那边，每一部分都是半杆抬秤，而且，当秤绳彼此被运动开时，称重物同等地起作用，所以，躺在秤盘中的东西拉起的物体有多重，是能够被度量出来的；况且，当抬秤是直的时，人们从秤绳所处的位置，也知道秤盘负重是多少，正如前面已说明过的。一般而言，这也是秤；因为有一个重物被置于其中的秤盘，在另一端，则是抬秤的重量在其中。因此，抬秤的另一端是圆形重物。这样的抬秤相当于多杆秤，其具体数量取决于秤绳的多少。离秤盘和压在上面的重量愈近的秤绳，总是拉起愈大的重量，因为整个抬秤成了一杆倒转过来的秤（因为每根秤绳是从上面固定的支点，重量则是秤盘内的东西）；但是，在秤那里，秤杆离支点的距离愈远，也就愈容易运动，而在这里，则造成平衡，而且是使对着圆形重物的抬秤的重量平衡。

【21】为什么医生在拔牙时，加上拔牙器的重量比仅用空手更容易？难道是因为牙齿更容易从手指中，而不是从拔牙器中滑脱吗？或者是因为，铁器比手更容易插入，它从两边紧紧钳住牙齿，而手指的肌肉是柔软的，更适合紧贴在牙齿的周围？其实，这些都不是原因。事实是，拔牙器由两个彼此相反的杠杆组成，钳嘴被连接的那一点是两者共有的支点；所以，医生用这种器具来拔牙，以使牙齿更容易被运动。设拔牙器的一端为A，另一端为B，那么，ADF为一个杠杆，BCE为另一个杠杆，CHD为支点；牙齿在钳嘴连接处的I点上，它是重量。医生用B和F同时钳住牙齿并运动它。但是，当他把牙齿弄动之后，用手就比用器具更容易取出来了。

【22】为什么人们容易弄破坚果，即使不把它们放到专门用来破裂它们的器具中去压击？因为不再有移动和撞击的强大力量。再者，假如人们使用器具去弄破它们，那么，用坚硬的和沉重的要比用木制的和轻小的器具更快。是因为坚果被两个杠杆在两边被压破，重物能轻易地被杠杆分裂吗？因为这种器具由两个杠杆组成，有一个共同的支点，即连接点，设为A。所以，正如E和F这两个端点能容易被分开一样，它们在被另一端点D和C运动时所提供的很小的力量作用下，也能容易地被合到一起。所以，和坚果被压破时的重量所产生的力相比，两个杠杆上的臂，即EC和FD产生的力是相同的，甚至更大；因为当重物被送到两个杠杆上时，它们在相反的方向运动它，重物就在K点被挤压弄碎。正是由于这同样的原因，K点离A点愈近，重物被弄破得也愈快；因为杠杆离支点愈远，在同样的力作用下，它运动重物也愈容易，愈有效。那么，A是支点，DAF和CAE都是杠杆。所以，K离角A愈近，它离杠杆的连接点A也愈近，而这个连接点就是支点。这样，当使它们合拢的力量相同时，F和E必然更具有挤压力。因此，既然力量是从两个相反方向升起的，重物必然更被挤压；更被挤压的东西破碎得也更快。

【23】为什么在扁菱形中，当两端的点以两种运动被移动时，它们每一点所通过的直线不是相等的，而是一个比另一个更长？换言之（问题的道理是相同的），为什么沿着边被移动的点所通过的距离要比边短？因为对角线是较短距离，边是较长距离，而且，一个只有一种移动，另一个则有两种。设A沿着AB被移动到B，B也以同样的速度沿AB被移动到A；再设AB沿着AC，仍以同样的速度平行于CD被移动。A点必然沿着对角线AD被移动，B点则沿着对角线BC被移动，而且，它们各自同时到达另一端，AB沿着边AC被移动。因为设A点被移动的距离是AE，AB被移动的距离是AF，设画出的线段FG平行于AB，再从E点画一条线以完成平行四边形。这样形成的这个平行四边形就与整个大的平行四边形相似了。因此，AF等于AE，A点沿着边AE被移动。AB被移动的距离应是AF。所以，A将处在H点处的对角线上，而且，它必然总是沿着对角线被移动。同时，边AB会通过边AC，A点将通过对角线AD。以同样的方式，也能证明B在对角线BC上被移动；因为BE与BG相等。可见，如果从G点画出一直线完成一个平行四边形，那么，这个在里面的平行四边形就与整个大平行四边形相似。B点将在几条边相交点的那条对角线上，而且，在这条边通过那条边的同时，B点也会通过对角线BC。因此，B点同时将通过比AB长得多的距离，边也会通过较短的边，虽然被移动的速度是相同的，而且，这条边虽然只被一种运动所移动，但它已通过的距离比A更远。因为这个扁菱形的角变得愈尖锐，它的对角线AD就愈短，另一对角线BC则愈长，边也比BC短。因为正如已说明过的，下面这种情形很荒谬：被两种运动所移动的点有时要比被一种运动所移动的点被移动得慢；而且，当两个点被给定的速度相等时，其中一个所通过的距离比另一个大。

其原因是，当点从一个钝角出发被移动时，两条路径（即点自身被移动的路线和它被边迫使而被移动的路线）的方向几乎是相反的；然而，当点从一个锐角出发被移动时，它似乎只在相同的方向上被移动。因为由边围成的这种角有助于点沿着对角线被移动；而且按比例而言，一种使角较锐，一种使角较钝，前者被移动得较慢，后者被移动得较快。因为由于角变得较钝，边就更处在相反的方向上，但在另一场合，由于线被靠得较近，它们又更多地在相同方向上。因为B点依据它的两种运动，几乎是在同一方向上被移动，所以，一种运动有助于另一种，而且角度愈锐，愈是如此。A点的情况刚好相反；因为它本身是要朝B点被移动的，但边却迫使它被移动到D点；而且角度愈钝，它的两种移动就变得愈相反，因为两个边变得愈像直线了。假如它们完全变成了直线，那就彻底相反了。但是，只在一个方向上被移动的边，没被什么因素所阻挡。所以，它通过的距离更大就理所当然了。

【24】还有一个疑难：为什么当把一个较大的圆和一个较小的圆绕着同一个中心放置时，大圆被拖滚的路线与小圆的相等？但当它们被分开滚动时，彼此滚动路线的长度就与各自的大小成比例了。再者，当两者的中心是同一个时，有时它们滚动的路线和小圆单独滚动的路线一样长，但在有时，却和大圆单独滚动的一样长。那么显然，大圆滚动的路线也更长。因为依靠感觉即可发现，每条周线与它自己的直径夹成的角，在大圆中的较大，小圆中的较小，所以，通过感觉亦可明白，它们与各自滚动的路线长度有着同样的比例。但是显然，当它们处在同一中心周围时，滚动的距离是相等的。这样，就出现了有时与大圆滚动的路线相等，有时又与小圆滚动的路线相等的情况。设DFC是大圆，EGB为小圆，A是两个圆的中心。设FI为大圆自己滚出的路线，GK为小圆自己滚出的路线，它与FL相等。如若我运动小圆，我也在运动同一个中心，即A；假设大圆也被A固定。当AB与GK成直角的同时，AC与FL也成直角，所以，它们通过的距离总是相等的，即，圆弧GB通过的GK与圆弧FC通过的FL相等。如果每个圆的四分之一部分通过的路程相等，那么显然，整个大圆通过的路程也会与整个小圆通过的相等，所以，当线BG到达K点时，圆弧FC也将沿着FL滚动，而且，整个圆亦会随之滚动。

如果我运动大圆，把小圆固定在那同一个中心，那么，情形也一样，在AB与GH成水平面的直角的同时，AC与FI也成水平面的直角。所以，当小圆通过的路程与GH相等时，大圆的路程就会与FI相等，而且，FA再一次变得与FL垂直，AG则再一次变得与GK垂直，G点和F点将再处于在H点和I点的原先的位置。并且，既然不会出现大圆停下来等小圆，以至于在同一点上静止一段时间的情况（因为在两种场合，两者都是被连续运动的），也不会出现小圆跳过某一点的情况，那么，大圆通过的路程与小圆的相等或小圆通过的路程与大圆的相等就是荒谬的。再者，当永远只有一种运动时，被运动的那个中心有时被滚动的距离大，有时的距离小，这也是很奇怪的。因为以同样的速度被移动的同一个东西，所通过的距离自然应是相等的；而且，以同样速度运动事物的意思，也就是在两个场合通过相等的距离。

关于这些情形的原因，我们可以把这个观点作为原理，即：相同或相等的力，运动一个东西 ^[5]较慢，运动另一个东西较快。假若某物没有自然地被自身运动，假若另一个有自然地被自身运动的东西既运动它同时又运动自身，那么，与假如它被自身运动相比，它就被运动得较慢。而且，假如它自然地被自身运动，但没有什么东西与它一起被运动，情形也一样。被运动物不可能比运动者更被运动；因为它之被运动，不是靠自己的运动，而是靠运动者的运动。

假定有两个圆，大的为A，小的为B。假如小圆去推进自己不滚动的大圆，那么显然，大圆通过的直线距离就会与它被小圆推进的一样长。它已被推进的距离与小圆已运动的距离也是相等的。因此，它们所通过的直线相等。假如小圆在滚动时又推进大圆，大圆在被推进的同时也会被滚动，那么必然地，小圆滚动了多远，大圆也只能被滚动多远，如果它根本不被自己的运动所运动的话。因为运动者运动了多少，被运动物必然也只能被它运动多少。由于小圆是以同样的方式把大圆运动那么远的，即以圆形的方式运动了譬如一脚远（假定这就是运动的距离），因此，大圆也运动了这么远。同样，假如大圆运动小圆，小圆也只能被运动到和大圆运动的距离一样远。无论它们各自以什么方式被运动，也无论速度如何，情形都一样；所以，在同样的速度下，小圆通过的直线与大圆自然运动所通过的相同。这就是造成疑难之所在，即：当它们被结合在一起时，就不再以同样的方式动作了，也就是说，如果一个被另一个运动，既不是依据它的自然运动，也不是依据它自己的运动。无论一个被另一个包围、顺应还是固定，都没什么差别；因为当一个运动，另一个被它运动时，运动者和被运动者通过的距离是同样的。当某人以碰触或悬吊的方式，借助另一个圆来运动一个圆时，他并不是连续地运动它；但当把它们围绕着同一个中心放置时，一个圆就必然连续地被另一个圆所滚动。然而，它不是按照自己的运动而被运动的，而是犹如没有自己的运动一样。假如它有自己的运动，却没有使用，也会出现同样的情形。所以，当大圆运动附随于它的小圆时，小圆被运动的距离与大圆的相同；反过来，当小圆运动大圆时，大圆被运动的距离亦与小圆的相同。但是，当它们被分开时，每一个都有自己的运动。如果有人提出疑难，认为当两个圆的中心相同，且以同样的速度运动它们时，它们通过的路程是不相等的，那么，他的看法就不合逻辑，就是诡辩。因为两个圆的中心确实可以相同，但这只是由于偶性的，正如一个人碰巧既是多才多艺 ^[6]的，又是白净的一样。因为每个圆的中心用得并不相同。总之，当小圆作为运动者时，中心和运动本原是归于小圆的，当大圆作为运动者时，中心和运动本原则归于大圆。运动者并不绝对相同，只在某种意义上相同。

【25】为什么人们按长是宽的两倍的尺寸比例来造床，即长是6足或6足多点，宽是3足？为什么他们不按对角线来绷床绳？他们做出这种尺寸的床，是为了与身体相适应吗？这样，尺寸比例就成了长是宽的两倍，譬如4腕尺长，2腕尺宽。至于他们不按对角线绷床绳，而是从边到边，其原因可能是为了使木料不被绷得太紧；因为当木料合乎自然地被分开时，最容易破裂，而且，一旦被拉扯，尤其更紧。再者，既然床绳必须能负重，那么，当重量压上去时，斜横交叉式的床绳就不如对角线式的那样紧张。再者，这样耗费的床绳也少些。设AFGI是床，设FG在B点被分成相等的两部分。FB中的孔与FA中的相等；因为这两个边是相等的，既然整个FG是FA的两倍。他们按已说过的方式绷床绳，从A点到B点，然后到C点，再到D点、H点、E点，这样不断往返，直到另一个角为止；因为床绳的两头在两个角上。

床绳转弯的长度是相等的，例如AB及BC与CD及DH相等。其他诸如此类的情形也如此，因为同样的证明适于一切。譬如AB与EH相等；因为平行四边形BGKA所对应的边相等，而且，孔与孔之间相隔的距离也相等。BG等于KA；因为B点的角等于G点的角，既然平行四边形的外角等于相反的内角。而且，在B点的角是个半直角；因为FB等于FA，而在F点的角是个直角。在B点的角等于在G点的角；因为在F点的角是个直角，既然床的长度是宽度的两倍，而且其长度在B点被分成相等的两部分。所以，BC等于EG，KH也与它相等；因为它与它平行。所以，BC等于KH。CE等于DH。用同样的方法也能证明这种一对一对转弯的其他边是彼此相等的。所以显然，在床上，有四根绳子的长度与AB相等，并且，无论在FG上有多少个孔，FB上的孔的数目都是它的一半，因为FB是FG的一半。因此，在床的一半中，绳子的长度与BA一样多，孔的数量与BG中的一样多。这和说它与AF加BF之和一样多没有区别。但是，如果按照对角线来绷床绳，就像在床ABCD中一样，那么，其半数就不与两个边（即AF和FG）之和的长度相同，而是与在FB、FA中的孔的数量相同。然而，AF和BF这两条线要比AB更大，所以，正如这两个边加起来要比对角线更长一样，花费的床绳也必定更长。

【26】在用肩膀运木料时，为什么扛着它的一头比扛着中间更费力些，虽然它的重量是相等的？难道是因为木料一头的摆动妨碍了搬运，尤其是摇晃干扰了搬运过程吗？不是这样的；因为即使它不弯曲，也不很长，在扛着它的一头时，同样较难搬运。正如从中间比从一端更容易把木料举起来一样，以这种方式更容易扛运木料也由于同一个道理。其原因是，当从中间举起木料时，两端总是彼此变轻，而且，一端有助于举起另一端。因为中间犹如变成了中心，无论是在举起还是扛运时。所以，某一端由于下斜，就使另一端上翘，并使之变轻了。但是，当从一端举起或扛运时，就不会造成这种效果，而是所有的重量都斜在一个方向上。设A为被举起或被扛运的木料的中间，B和C为两端。当它在A点被举起或被扛运时，B端下斜使C端上升，反之，C端下斜使B端上升。当它们同时上升时，就造成了这种结果。

【27】假如某物很长，即使某人从中间搬运，为什么也比相同重量的短物体更难运在肩上？在上一个问题中，我们已说过，摆动不是原因，但现在在这里，摆动就是原因了。因为物体愈长，两端的摆动也愈大，所以，搬运者要搬运它就较困难。摆动大的原因是，虽然运动是相同的，但木料愈长，两端的位置变化幅度就愈大。因为肩膀是中心，设为A（因为它是保持不动的），AB和AC是源于中心的两个半径。那么，AB和AC愈长，位置变化的幅度便愈大。这一点，我们已在前面证明过了。

【28】为什么人们要在井边以这种方式（即在木制杠杆底端加上铅的重量，虽然水桶本身就是重量了，无论桶是空的时还是装满了水时）造出转动式杠杆？是因为提水器具的工作在时间上被分为两段（因为必须先放下去，然后再提上来），空的时放下去容易，装满时提上来困难吗？所以，稍微缓慢地把桶放下去，对于提上来时大大减轻重量是有利的。把铅块或石头附在转动式杠杆的底端，可以造成这种效果。因为这样做，在把桶放下去时，其重量就必定比只放空桶更大；而在桶装满水时，铅块或附加的其他重物则有助于把桶拉上来。所以，在这里，两种作用合起来比用其他方法更容易。

【29】当两个人共同搬运同等重量的木料或诸如此类的其他某种重物时，为什么各自承受的压力是不等的（除非重量在他们中间），而是离重物愈近的那个人承受的压力也愈大？是因为以这种方式搬运时，木料成了杠杆，重量是支点，离被搬运的重量较近的那个人成了被运动的重量，另一个搬运者则成为重量的运动者吗？因为离重量愈远的人，运动重量也愈容易，给另一个人留下的压力也愈大，既然木料的重量压向了另一边，且变成支点。但是，当重量处在中间时，一个人就不会成为加给另一个人的重量，也不会成为运动者，而是各自都同样地成为重量。

【30】为什么意欲站立起来的人在站起来时，总是要使大腿和小腿之间以及躯干和大腿之间成为锐角？如果不这样，就站立不起来。是因为相等总是静止的原因，而直角又是相等的原因，所以造成平衡吗？因此，站起的人会移动到与地面的圆弧同样的角度；因为他实际上不会与地面成直角。或者是因为，当他站起时，想成为直角，而一个站立的人必然是与地面垂直的？所以，如果他想与地面垂直，即头与双脚在同一条垂直线上，那么，当他已站起来时，才会出现这种情形。相反，在他坐着时，头和双脚是彼此平行的，不在一条直线上。设A为头，AB为躯干，BC为大腿，CD为小腿。那么，当他这样坐着时，躯干（即AB）与大腿是直角，大腿与小腿也是直角。所以，当他处于这种姿势时，不能站起来。如要站起，他就必然要弯曲小腿，使双腿处在头部下方。如果把CD移到CF，就会处在这个位置，而且，他在站起来的同时，头部和双腿就将处于同一条直线上。这样，CF与BC便构成锐角。

【31】为什么已在被运动物比静止物更容易被运动？例如，已被运动着的马车就比刚刚起动的马车行进得更快。是因为朝相反方向运动一个已在被运动的重量最为困难吗？因为运动者的力虽然快得多，但被损失了一部分；因为被反冲物的推进必然变得较慢。其次，如若事物是静止的，推进也较慢；因为静止的东西有阻力。当被运动物与推进者的方向相同时，造成的效果就如同增加了运动者的力量和速度；因为由于被向前推进，被运动物产生了和运动者造成的同样结果。

【32】为什么被投掷物最后会停止被移动？是当驱动它的力耗尽时，或是由于相反力量的阻抗，或是因为下降的冲力更大，控制了投掷者的力量吗？或者，当原理已不复存在时，讨论这样的疑难问题是荒谬的？

【33】当驱动者不再跟随和推进时，为什么某物还能有不靠自己运动的被移动？显然是因为，这种性质的第一驱动者造成了对某物的推进，而这个某物又依次推进另一物；当引起被移动物前进的东西不再有推进它的力量时，当被移动物的重量的下斜力比推进者的前进力更大时，它就停止了。

【34】为什么小物和大物在被投掷时，都被移动得不远，相反，必定总与投掷者有着某种比例？是因为被投掷物和被推进物必然对推进所从出的方向产生一种阻抗吗？由于体积大而不会退让的东西，或由于弱小而丝毫无阻抗的东西，都不能被投掷，也不能被推进。比推进者的力量大过很多的东西不会退让，太弱小的东西则没有阻抗。或者是因为，被移动物被移动的距离是与它运动空气的厚度相同的？凡不被运动的东西，也不能运动别的什么。那两种物体恰好具备这些条件。因为太大和太小的东西都可以被看作是不被运动的；既然太小者不能运动什么，太大者不能被运动。

【35】为什么在有漩涡的水中，被移动物最后全都被移动到中心？是因为被移动物都有体积，所以，它处在两个圆中，一端在小圆中，另一端在大圆中吗？大圆由于被移动得快些，就把物体吸在它周围，并将它推到旁边的小圆中。但是，既然被移动物有宽度，那么，这个小圆又造成同样的结果，把它推到里面更小的圆中，直到它到达中心位置为止。这时，被移动物就停留在那里，因为由于它在中心，与各个圆的关系是相同的；既然在每个圆中，中心离边沿的距离相等。或者是因为，由于物体有体积，漩涡水的移动不能控制它，相反，它的重量超过了圆的旋转速度，所以，物体必然被留在后面，且被移动得较慢？圆愈小，被移动得也愈慢；因为当大圆和小圆围绕着同一个中心被旋转时，在相等的时间内，所通过的距离是相同的 ^[7]。所以，物体必然一次又一次地被遗留在较小的圆中，直到到达中心为止。假如移动一开始就占了优势，它会保持同样的优势直到结束。因为第一个圆以及接续着的其他圆靠它们的速度控制住了物体的重量，所以，每一次都总是把物体留在后面，推到里面更小的圆中。因为不占优势地位的物体，必然被运动到里面或外面，既然这种物体不能总在与它原来的位置相同的位置上被移动。再者，它也不大可能在外面的位置；因为外面的圆移动速度更快。可见，对不占优势地位的物体而言，所剩下的唯一出路是被移到里面。每一物体都总有一种不愿被控制的倾向。但是，既然只有到达中心才能不再被运动，而中心是唯一保持不动的地方，那么，一切东西必然被汇集于此。

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注释

[1] Mekhanika据《洛布古典丛书》希腊本文。

[2] arkhe，即始点。

[3] aei，即永久。

[4] phalagks。

[5] megethos，大小、体积。

[6] mousikos。

[7] 巴恩斯主编的英文本《亚里士多德全集》在这里加了一个ou，意为“不相同”。