第十六章 数目(Number)
1 数目是最简单最普遍的观念——在我们所有的一切观念
中，单位观念或单一观念是由最多的途径进入人心的，可是同时它
又是最简单的一种观念。它并没有含着任何复杂组织的迹象，可
是我们感官所知觉的每一物体，理解中的每一观念，心中的每一思
想，都带着这种观念。因此，这个观念是我们思想所最熟悉的一个
观念，亦是最普遍的一个观念，因为它同任何事物都可以契合。因
为数可以适用于人、天使、行动、思想以及一切现存的和一切能想
象到的事物。
2 数目的情状是相加而成的——我们把这个观念在心中重
叠以后，并且把这些重叠又加起来以后，就得到复杂的数目情状的
观念。就如以一加一，我们就得到复杂的“一对”观念，又如把十二
个单位加起，我们就得到复杂的“一打”观念，至于“二十”、“百万”
等等数目观念，亦是相加而成的。
3 每一个情状都是厘然个别的——简单的数目情状在一切
情状中是最清晰的。一个数目中只要有一个单位的些小变化，就
能使那个组合同最相近的数厘然各别，正如和最远的数之互相差
别是一样的。二与一之差，正同二百和一之差一样，而且二的观念
与三的观念之差，亦正同全地球的体积和一个微虫的体积之差一第十六章 数目(Number)
样。至于在别的简单的情状中，便不如此，因为在别的简单情状
中，我们很不容易，甚或不可能，分辨十分邻近而却真有区别的两
个观念。因为谁能分别这张纸的白色和其紧相邻近的白色呢?谁
能清晰地观念到广袤中的些小增加呢?
4 因此在数目方面的解证是最精确的——数目中每一个情状
同别的情状，甚至于同最相近的情状，既然都是厘然个别的，因此，
我想数目方面的解证比起广袤方面的解证来，纵然不是更为明显、
更为精确、至少它们在应用方面，亦是更为普遍，更为确定的。因为
数目观念比广袤观念是较为确当、较为分明的。因为在广袤方面，
各种增加和相等并不容易观察出来、计算出来，因为在空间方面，我
们的思想并不能达到最小而不能再进一步的程度——单位；因此，
我们并不能发现出些小增加后的数量和比例。可是在数目方面，这
些都是很清楚的，因为在数目中，如方才所说，九十一虽比九十只大
一点，可是九十一同九十之差，亦正如同九千之差一样。至于在广
袤方面则不如此，在这方面，比一吹或一时略大些许的东西，并不能
同一吹或一时的标准容易分辨出来；而且我们虽然看到两条线相
等，而此一条线仍可以比彼一条线大着无数部分。不但如此，我们
亦一样不能在直角以下画一个与直角紧相邻接的最大的角子。
5 数目必须有名称——我们已经说过，把单位观念重叠一
次，把它加在另一个单位上，我们便得到所谓“二”的一个集合观
念。人们如果能这样一直进行下去，尽管在他所有的最后的一个
集合数目观念上加一个单位，并且给新数以一个新名称，则他们便
可以计算并且可以观念到那些单位的互相差别的种种集合
体，——只要他能给前后相承的那些数目以一系列名称，并且记得第二卷
粥
那些观念同其名称。一切计数过程都只是多加一个观念，并且给
一个观念所包含的整数以一个新的，独立的名称或标记，使我们借
以分别以前或以后的数目，使它同较大或较小的单位总体，有所分
划。因此，一个人如能在一上加一，并且在二上加一，如此一直往
下计算，并且在每一进步以后，都可以有一个清晰的名称；而且在
反面，他又可以在每一集合体上减去一个单位，慢慢亦退回来，则
他在自己的方言范围内，便可以得到所有的数目观念；他纵然不能
有再多的观念，至少亦能得到那些有名称的数目观念。因为在人
心中，数目的各种简单情状，只是那么多单位的集合体，而且这些
单位又没有别的变化，所差异的只在于数目的或多或少，因此，在
数目方面，每一种清晰集合体的名称或标记，比在别的方面，似乎
更觉要紧。因为要没有这些名称或标记，则我们在计算时，便难以
很好地利用各种数目，尤其在集合体是由很多的单位形成时，更其
如此。因为这些大数目在相加以后，如果没有一个名称或标记，来
分别那些精确的集合体，则它们难免不是一堆纷乱的数目。
6 因为这种缘故，所以有些美洲人(我前边已经提过)虽亦能
数到二十，而且在别的方面，天才亦还敏捷，可是他们无论如何也
不能同我们一样能数到一千，并且对那个数目，有了清晰的观念。
因为他们的语言是很贫乏的，只能适用于简单穷枯生活的一些必
需品，而且他们既没有贸易同数学，所以亦就没有能表示一千的名
称。因此，我们如果同他们谈起那些大数目来，他们就会指着自己
的头发，以表示那样大的数目不是他们所能数的。我想他们所以
不能数这些大数，正是因为他们缺少相当的名词。陶萍诺堡人
(Tououpinambos)对五个以上的数目亦没有名称；凡遇五个以上第十六章 数目(Number)
的数目，他们就以自己的指头，同在场的别人的指头来表示。就以
我们自己来说，我们如果能有适当的名称，来表示那些不常见的数
目，则我们亦一定能用言语清晰地数出比寻常大了许多的数目来。
可是我们现在的说法，只能往下重复，只能说万万万，因此，我们在
以十进法住前计算时，在超过了十八位，或至多二十四位以后，就
很容易陷于纷乱。不过要表示各种清晰的名称如何能有助于我们
的计算，如何能使我们有了有用的数目观念，则我们可将下边各种
数字列出来，作为一个数目的标记。
纳尼林 奥克梯林
塞朴梯林
塞克梯林
蒯特虑林
Nonillions Octillions
Sextillions
Quintrillions
Septillions
8573241162486
345896
437916
423147
万
单位
括特虑林 特虑林
比林
QuatrillionsTrillions
Billions
Millions
Units
235421
261734
368149
248106
623137
在英文中，平常我们称呼这个数目时，只是以万为单位，按照每六
位数，把万字重叠起来，叫这个数为万万万万万万万万万。不过要
照这样计算，则我们对这个数目很难有任何清晰的观念。至于在
给了每六个数字以一个新而有规则的名称以后，这些数目(或者再
有较多的数目)是否可以较顺利地较清晰地数出来，它们的观念是
否可以较容易地为我们所得到，并且较容易地表示于他人；那我让
别人来考究好了。我所以提到这一层，只是要指示出，清晰的名称
是计数时所必需的，并不是敢拿出自己新创的名称来。
7 儿童们数数目为什么不能再早一点——因此，儿童们往往
不能很早就数数目，往往不能一直顺利地进行下去，因为他们或则
下畜第二卷
下倒
缺少各种名称来标记数目的各种级数，或则心理官能尚未发展，不
能把那些散乱的观念集合成复杂的，把它们排列在有规则的秩序
内，并且把它们记住，以供计算之用。只有在他们得到许多别的观
念以后，慢慢地才能数数目，因此，我们常见，他们虽然亦能谈话，
亦能推理，亦能对各种事物有了明白的观念，可是他们在很晚以
后，才会数二十。因此，人们如果记忆不良，不能记住数目的各种
组合，不能记住清晰有叙的各种数目名称，不能记住一长串数目的
互相依属关系，则他们一生亦不能有规则地来计算稍大的数目。
因为一个人要想数二十，或对于那个数目有任何观念，则他必须知
道，以前还有十九个数，而且那些数又按照秩序各个有一个清晰的
名称或标记。他如果不知道这一层，则中间会有一个缺口，连串因
以破坏，计算的进程便行中断。因此我们如果想计算正确，第一，
需要人心仔细分别相差只一单位的(或由加或由减)两个观念；第
二，它得记住各种组合的名称或标记，从单位起一直到那个数目，
不能有丝毫纷乱，丝毫任意，而且它的记忆必须合于各数相承的精
确秩序。在两方面，它如果稍有误失，则数的全部过程因以扰乱，
它只能得到扰乱的“杂多”观念，而得不到清晰计算时所必需的那
些观念。
8 数目可以度量一切能度量的东西——在数目方面，我们还
看到，人心在度量一切可度量的东西时，它总是要应用数的。可度
量的事物主要的就是扩延和绵延，而且我们的无限观念即在应用
于这些事物上时，亦似乎只是无限的数目。因为永久观念和博大
观念，就不过是我们在绵延和扩延两方面所想象的各部分的观念
重复相加的结果，而且在这些观念上还附有加不完的数目的无限第十七章 无限性(Infinity)
性。因为人人都看到，在一切观念中，只有数目观念能供给我们那
样无穷的数量。人们不论加了多大一个数，而这个大数依然不能
损了他的丝毫力量，使他不能再往前加；他依然不能较接近于无穷
数目的终点，因为在那里，还剩有无穷可加的数目，正如他原来在
这方面就未加过任何数似的。数目的这种无限的增加或可加性
(addibility)(如果人们乐用这个字)是人心所能分明见到的，而且
我想，我们所以能有最清楚，最明晰的无限观念，就是由于这一点。
不过关于这一层，我们可在下章再为详论好了。
